By Felix R. Gantmacher, H. Boseck, K. Stengert, D. Soyka
12.1. 1. In diesem Kapitel wird folgende Frage behandelt: Gegeben seien vier Matnzen A, B, A1, B1 gleichen Typs (m, n) mit Elementen aus e nem Zahlkorper ok. Gesucht s nd die Bedingungen, unter denen zwei regulare quadra t 8che Matrizen P und Q der Ordnung m bzw. n existieren derart, dafJ gleichzeitig (1) giU. 1) Fuhrt guy die Matrizenbuschel A + J..B und A1 + J..B ein, so k6nnen die beiden 1 Matrizengleichungen (1) durch die einzige Gleichung (2) P(A + J..B) Q = A1 + J..B1 ersetzt werden. Definition 1. Wir nennen zwei Buschel A + J..B und A1 + J..B rechteckiger Ma 1 trizen gleichen Typs (m, n) streng aquivalent, wenn fUr sie die Gleichung (2) gilt und dabei P und Q konstante (d. h. von J.. unabhiingige) regulare quadratische Matrizen 2 (m-ter bzw. n-ter Ordnung) sind. ) Nach der allgemeinen Definition, der Aquivalenz von Polynommatrizen (vgl.
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Aufbauend auf ihrem Band „Einführung Mathematik Primarstufe – Arithmetik“ vertiefen die Autoren elementares mathematisches Hintergrundwissen zur Arithmetik/Zahlentheorie vor allem für Lehramtsstudierende der Primarstufe. Themen des Buches sind spannende zahlentheoretische Problemstellungen als Einstieg, Teiler/Vielfache/Reste, Primzahlen unter vielen faszinierenden Aspekten und speziell als Bausteine der natürlichen Zahlen, größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches, Teilbarkeitsregeln im Dezimalsystem und in anderen Stellenwertsystemen, Dezimalbrüche, Restklassen/algebraische Strukturen sowie praktische Anwendungen (Prüfziffernverfahren und ihre Sicherheit).
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Sample text
N). die Bedingung (7) fUr ein vorgegebenes p erfuIlt, so gilt sie ebenso fur jedes p' ;;:;; p. Foiglich gelten auch die Gleichungen (11) und (13) fiir jedes p' ;;:;; p. Daraus ergebim sich die Gleichungen (1) = au, A(11 2)2 = A 1 (1) nlla22 , A(11 2 2 3) 3 = (1) (2) alla22 a33 , ••• (14) Die Bedingung (7), d. h. eine notwendige und hinreichende Bedingung fur die AusfUhrbarkeit der ersten p Schritte des GauBschen Algorithmus, kann also in Gestalt der Ungleichungen A (1) 0 J=1=, p) A (1 2) =1= 0 ...
54) iiberein. 4. Zerlegung quadratischer Matrizen in Produkte voIi Dreiecksmatrizen 61 Da W eine reguliire Matrix ist, ergibt sich aus (33) A = W-IG. (33') Wir stellen die Matrix A als Produkt der unteren Dreiecksmatrix W-l und der oberen Dreiecksmatrix G dar. Die Frage nach der Zerlegbarkeit einer Matrix A in Faktoren dieser Art wird durch den folgenden Satz vollstiindig beantwortet: Satz 1. Jede Matrix A Dk =A = lIaikll~ vom Rang r, die die (1 2 ... = 0 1 2 ... k lur = k Bed~'ngungen 1, 2, ...
K~_p das ganze System der Indizes 1, 2, ... , n ausschopfen. Aus AB = E folgt m:pmp = ~p oder, in· ausfUhrlicher Schreibweise, N I: ay«o«p = «=1 = ~yp lf 01 fur . fur fl, Y =1= fl. )2 = 0, I: (i. )2 > >=1 p 0 fUr EO I: U. - (34') >=1 0 Betrachten wir andererseits die Laplacesche Entwicklung der Determinante A, erhalten wir ~{ ~AI p I: (i. )2 11=1 (35) P I: (i. )2 1'=1 > 0, wenn dabei £1 < zi < ... < £p und £~ < £~ < ... < £~_p sowie k1 < k2 < ... < kp und k~ < k~ < ... < k~_p das ganze System der Indizes 1, 2, ...