By Rainer Schulze-Pillot-Ziemen
Das Buch bietet eine neue Stoffzusammenstellung, die elementare Themen aus der Algebra und der Zahlentheorie verkn?pft und f?r die Verwendung in Bachelorstudieng?ngen und modularisierten Lehramtsstudieng?ngen konzipiert ist. Es f?hrt die abstrakten Konzepte der Algebra in stetem Kontakt mit konkreten Problemen der elementaren Zahlentheorie und mit Blick auf Anwendungen ein und bietet Ausblicke auf fortgeschrittene Themen. In beiden Gebieten wird ein Stand erreicht, der f?r Nichtspezialisten das n?tige Handwerkszeug f?r die meisten Anwendungen (etwa in diskreter Mathematik, Kryptographie oder Signalverarbeitung) vermittelt, aber auch zu einer vertieften Besch?ftigung mit Algebra und Zahlentheorie anregt und f?r diese eine gute Ausgangsbasis bildet.
F?r die zweite Auflage wurden Korrekturen vorgenommen, ferner wurden ein erg?nzendes Kapitel ?ber Galoistheorie und ein erg?nzender Abschnitt ?ber Anwendungen der Theorie endlicher K?rper auf zyklische fehlerkorrigierende Codes neu aufgenommen.
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Example text
Ak ∈ {0, . . , p − 1} nach der Formel k ai (−p)i w= i=0 berechnet. a) Zeigen Sie, dass alle Zahlen in diesem Zahlsystem dargestellt werden k¨ onnen und dass die Darstellung eindeutig ist. b) Stellen Sie die Werte 0, . . , 15 sowie 525 und −202 im Zahlsystem zur Basis −5 dar. c) Welchen Nachteil haben solche Systeme? 3 4 5 D. Knuth: The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms, Addison-Wesley, 3. Auflage 1997 K. O. Geddes, G. Labahn, S. R. Czapor: Algorithms for Computer Algebra, Kluwer Academic Publishers 2003 Joachim von zur Gathen, J¨ urgen Gerhard: Modern Computer Algebra, Cambridge University Press, 2.
Xn bilden; ist R ein Integrit¨ atsbereich, so ist auch R[X1 , . . , Xn ] ein Integrit¨atsbereich. ,jn ∈ R und einem geeigneten m ∈ N0 . Die Terme X1j1 X2j2 · · · Xnjn ∈ R[X1 , . . , Xn ] (oder auch deren skalare Vielfache), aus denen sich diese Polynome zusammensetzen, heißen Monome, die Summe j1 +· · ·+jn der Exponenten des Monoms X1j1 X2j2 · · · Xnjn heißt der Grad des Monoms. Man schreibt f¨ ur j = (j1 , . . , jn ) auch X j := X1j1 X2j2 · · · Xnjn und |j| := j1 + · · · + jn . ,jn = 0 nur f¨ (j1 , .
Seien a1 , . . , ak ∈ Z nicht alle 0, c ∈ Z. a) Die Gleichung a1 x1 + · · · + ak xk = c ist genau dann in x1 , . . , xn ∈ Z l¨osbar, wenn ggT(a1 , . . , ak ) ein Teiler von c ist. b) Ist die Bedingung in a) erf¨ ullt, so findet man eine L¨osung der Gleichung, indem man mit ggT(a1 , . . , ak ) = d zun¨achst durch wiederholte Anwendung des euklidischen Algorithmus Zahlen k x′1 , . . x′k aj x′j = d mit j=1 bestimmt und anschließend xj = x′j · c d setzt. c) F¨ ur k = 2 sei (x0 , y0 ) eine spezielle L¨osung der Gleichung ax + by = c.