By Oliver Deiser, Caroline Lasser, Elmar Vogt, Dirk Werner
Wie ist ein Ring definiert, wann kann guy Grenzprozesse vertauschen, used to be sind lineare Ordnungen und wozu ben?tigt guy das Zornsche Lemma in der Linearen Algebra? Das Buch will seinen Lesern helfen, sich in der F?lle der grundlegenden mathematischen Definitionen zurecht zu finden und exemplarische mathematische Ergebnisse einordnen und ihre Eigenheiten verstehen zu k?nnen. Es behandelt hierzu je zw?lf Schl?sselkonzepte der folgenden zw?lf Themengebiete der Mathematik: Grundlagen, Zahlen, Zahlentheorie, Diskrete Mathematik, Lineare Algebra, Algebra, Elementare research, H?here research, Topologie und Geometrie, Numerik, Stochastik und Mengenlehre und Logik. Ein besonderes Augenmerk liegt auf einer knappen und pr?zisen, dabei aber nicht zu formalen Darstellung. Dadurch erlauben die einzelnen Beitr?ge ein fokussiertes Nachlesen ebenso wie ein neugieriges Kennenlernen. Das Buch ist geschrieben f?r Studierende der Mathematik ab dem ersten Semester und m?chte ein treuer Begleiter und eine zuverl?ssige Orientierungshilfe f?r das gesamte Studium sein.
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Lie Groups Beyond an Introduction
This ebook takes the reader from the top of introductory Lie crew thought to the edge of infinite-dimensional workforce representations. Merging algebra and research all through, the writer makes use of Lie-theoretic tips on how to strengthen a gorgeous concept having huge purposes in arithmetic and physics. The ebook at the start stocks insights that utilize genuine matrices; it later is determined by such structural positive factors as homes of root platforms.
Lectures on Tensor Categories and Modular Functors
This publication supplies an exposition of the kinfolk one of the following 3 issues: monoidal tensor different types (such as a class of representations of a quantum group), three-dimensional topological quantum box idea, and 2-dimensional modular functors (which obviously come up in 2-dimensional conformal box theory).
We advance the idea of compactness of maps among toposes, including linked notions of separatedness. This thought is equipped round models of 'propriety' for topos maps, brought right here in a parallel model. the 1st, giving what we easily name 'proper' maps, is a comparatively susceptible because of Johnstone.
- Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften I
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Von Frobenius wurde 1877 bewiesen, dass dies die einzigen endlich-dimensionalen assoziativen Divisionsalgebren sind. Aber schon 1845 hatte Cayley eine Multiplikation auf R8 entdeckt (die Oktavenoder Oktionenalgebra O), die nicht mehr assoziativ ist, aber zu einer Divisionsalullen noch eigebra f¨ uhrt. Die Elemente von O heißen auch Cayley-Zahlen. Sie erf¨ ne schwache Form der Assoziativit¨ at, n¨ amlich u(uv) = (u2 )v und (uv)v = u(v2 ) f¨ ur u, v ∈ O. Außer R, C und H ist O die einzige endlich-dimensionale Divisionsalgebra, die im obigen Sinn schwach assoziativ ist.
Es l¨ asst sich zeigen, dass es bis auf Isomorphie genau eine Z¨ ahlreihe gibt. Wir fixieren also eine Z¨ ahlreihe (N, S, 0) und nennen N die Menge der nat¨ urlichen Zahlen. Dass unser Anfangselement 0 die Rolle der Null u ¨bernimmt, wird erst bei der Einf¨ uhrung der Addition auf N klar werden. Mit Hilfe des Induktionsprinzips l¨ asst sich beweisen, dass eine Funktion f auf N wie folgt eindeutig definiert werden kann: (R1) Man definiert f (0). (Rekursionsanfang) (R2) Man definiert, f¨ ur alle n ∈ N, den Wert f (S(n)) mit Hilfe von f (n).
Dann schreibt man traditionell (unter Missbrauch des Gleichheitszeichens): ur alle x ≥ x0 , f = O(xk ), falls c, x0 ∈ R existieren, so dass |f (x)| ≤ cxn f¨ f = o(xk ), falls limx→∞ f (x)/xk = 0, f ∼ xk , falls limx→∞ f (x)/xk = 1. So gilt z. B. cos(x) = O(1) (= O(x0 )), x = O(x), x = o(x2 ), x + a ∼ x, ur alle a, b, c ∈ R. ax + b = O(x) und ax2 + bx + c = O(x2 ) f¨ Genauso sind f¨ ur exponentielle Betrachtungen f = O(ex ), f = o(ex ) und art man in analoger Weise f = O(g), f = f ∼ ex definiert, und allgemein erkl¨ o(g) und f ∼ g f¨ ur reelle Funktionen g mit positiven Werten.