By Christoph Schweigert
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Example text
M vm ∈ spanK (v1 , . . , vm ) fu ¨r α ∈ K . (ii) Der Beweis fu ¨r eine beliebige Teilmenge M ⊂ V geht analog. (iii) Ist M ⊂ W und W ein Untervektorraum, so liegen nach (UV2) und (UV3) auch alle Linearkombinationen von Elementen in M in V . 10. (i) Sei K ein beliebiger K¨orper, den wir als Vektorraum ¨uber sich selbst betrachten, und sei v ∈ K. F¨ur v = 0 ist spanK (0) = {0} der triviale Untervektorraum von K; f¨ur v = 0 ist spanK (v) = K. 45 (ii) Sei K ein beliebiger K¨orper und V = K n . Setze 0 0 1 0 1 0 0 0 e1 = e2 = .
1 (i) Sei K ein K¨orper. Ein K–Vektorraum oder auch Vektorraum u ¨ ber K ist ein Tripel (V, +, ·) bestehend aus einer Menge V und Abbildungen +: V ×V →V ·: K×V →V , die den folgenden Axiomen genu ¨ gen: (V1) (V, +) ist eine abelsche Gruppe (V2) Fu ¨ r alle v, w ∈ V und α, β ∈ K gilt a) b) c) d) (α + β) · v = α · v + β · v α · (v + w) = α · v + α · w (α · β) · v = α · (β · v) 1 · v=v Hinweis: das neutrale Element der Addition in K und die Inversen in K treten in der Definition nicht auf, spielen aber in der Theorie der Vektorr¨aume eine große Rolle.
Vn ). Solch ein vn+1 existiert, da andernfalls V von den (v1 , . . , vn ) endlich erzeugt w¨are. Es bleibt zu zeigen, dass auch die Familie (v1 , . . , vn , vn+1 ) linear unabh¨angig ist. Sei n+1 0= αj ∈ K αj vj j=1 eine Linearkombination des Nullvektors. Aus αn+1 = 0 erhalte n vn+1 = j=1 − αj vj αn+1 im Widerspruch zu unserer Wahl von vn+1 ∈ spanK (v1 , . . , vn ). Also muss αn+1 = 0 gelten; daraus folgt n αj vj = 0 j=1 und hieraus nach Induktionsannahme αj = 0 fu ¨r alle j = 1, . . , n.