By Hubert Grassmann
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We strengthen the speculation of compactness of maps among toposes, including linked notions of separatedness. This concept is outfitted round types of 'propriety' for topos maps, brought the following in a parallel type. the 1st, giving what we easily name 'proper' maps, is a comparatively vulnerable because of Johnstone.
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P0 Pk } hat die Dimension k. Sei umgekehrt H = P + U = P0 + U irgendein Unterraum, der die Pi enth¨alt, dann −→ −→ −→ liegen die Vektoren P0 Pi in U, also ist L{P0 P1 , . . , P0 Pk } in U enthalten und beide R¨aume haben dieselbe Dimension, sind also gleich. Definition: Sei H = P + U ein affiner Unterraum von A und {b1 , . . , bk } eine Basis von U, dann heißt {P, b1 , . . , bk } ein Koordinatensystem von H. 1. AFFINE RAUME UND UNTERRAUME 59 Wenn ein Koordinatensystem {P, b1 , . . , bk } von H = P + U gegeben ist, so gibt es f¨ ur jeden Punkt Q von H eindeutig bestimmte Zahlen r1 , .
Rl aml = 0. Aus diesen Gleichungen folgt aber sofort r1 a11 + . . + rl a1l r1 ai1 + . . + rl ail r1 am1 + . . + rl aml = 0 ... = 0 ... = 0. 38 ¨ KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER THEORIE DER VEKTORRAUME Dieses Gleichungssystem hat aber nur die triviale L¨osung, weil s1 , . . , sl linear unabh¨angig sind. Also gilt sr(A′ ) ≥ sr(A) und die Gleichheit folgt aus Symmetriegr¨ unden. 3 F¨ ur jede Matrix A gilt zr(A) = sr(A). Diese Zahl wird als Rang rg(A) von A bezeichnet. Beweis: Wir u uhren A in die reduzierte Form ¨berf¨ 0 .
F (v1 ), . . , f (vr )} eine maximale linear unabh¨angige Teilmenge. Die Spalten von ABC (f ) sind nun die Bilder kC (f (vi )) der f (vi ) unter der Koordinatenabbildung kC . Da diese ein Isomorphismus ist, sind die ersten r Spalten linear unabh¨angig und die restlichen sind Linearkombinationen der ersten r Spalten. Also ist rg(ABC (f )) = r. 3. MATRIXMULTIPLIKATION, INVERSE VON MATRIZEN Wir fassen eine gegebene Matrix F ∈ Mlk wie folgt als Abbildung von Rk in Rl auf: Das Bild des Spaltenvektors X ∈ Rk sei einfach das Matrixprodukt F X.