By Oliver Baues
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Induktionsanfang: g = g0 = D 0 g. Induktionsannahme: D i g ⊆ gi . Induktionsschluss: Da gi /gi+1 abelsch ist, gilt [gi , gi ] ⊆ gi+1 und es folgt mit der Induktionsannahme: D i+1 g ⊆ [D i g, D i g] ⊆ [gi , gi ] ⊆ gi+1 . 8 Die Lie-Algebra g heißt nilpotent, wenn C k g = {0} gilt fur ¨ ein k ≥ 0. 9 Sei g eine Lie-Algebra. 1. Ist g nilpotent, so ist g auch auflosbar ¨ (da C i g/C i+1 g abelsch ist). 2. Ist [g, g] nilpotent, so ist g auflosbar. ¨ 3. Ist h eine Unteralgebra von g und ist g nilpotent (bzw.
60 Homomorphismen von Lie-Gruppen. Ê Ê ¨ 1. Die Determinante det : GLn ( ) → × , A → det(A) (und entsprechend fur GLn ( )) ist ein Homomorphismus von Lie-Gruppen. 2. Auf der Kreisgruppe S1 = {z ∈ | |z| = 1} a b −b a Ê a2 + b2 = 1 ⊂ GL2 ( ). ist die Abbildung z → z2 ist ein Homomorphismus. 3. Die adjungierte Darstellung Ad : G → GL(g), A → AdA mit AdA (X) = AXA−1 ist ein Homomorphismus. 4. Betrachte die adjungierte Darstellung von SU2 = {A ∈ GL2 ( ) | AA∗ = I2 , det(A) = 1}. Jedes A ∈ SU2 l¨asst sich schreiben als a b , mit aa + bb = 1.
2. ⇒“: ad(g) ist das homomorphe Bild von g unter ad und somit nach Teil 1 ” auflosbar. 30 folgt ad(g) g/z(g). Bilden die Ideale gi eine auflosbare ¨ ” −1 Reihe in g/z(g), so bilden die gi = p (gi ) eine Normalreihe mit abelschen Quotienten in g. 3 Ist I ⊆ g ein Ideal, so gilt: g/I ist abelsch ⇔ [g, g] ⊆ I. B: Es ist g/I = {X = X + I | X ∈ g}, X = 0 ⇔ X ∈ I und [X, Y] = [X, Y]. Damit gilt: g/I ist abelsch ⇔ ∀ X, Y : [X, Y] = 0 ⇔ ∀ X, Y : [X, Y] = 0 ⇔ ∀ X, Y : [X, Y] ∈ I ⇔ [g, g] ⊆ I. Womit alles gezeigt w¨are.