Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer by Otto Forster

By Otto Forster

Dieses seit über 30 Jahren bewährte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters für Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu große Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren. An verschiedenen Stellen wurden Bezüge zur Informatik hergestellt. Einige numerische Beispiele wurden durch Programm-Codes ergänzt, so dass die Rechnungen direkt am computing device nachvollzogen werden können. Die vorliegende eleven. Auflage wurde um einige Aufgaben und Beispiele erweitert.

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4) ist −1 < 0, im Widerspruch zu x 0. Somit sind alle Peano-Axiome erf¨ullt. Man kann zeigen, dass durch die PeanoAxiome die nat¨urlichen Zahlen bis auf Isomorphie eindeutig festgelegt sind. Wir werden deshalb N und N identifizieren. 3) das Prinzip der vollst¨andigen Induktion. Denn sei A(n) f¨ur jedes n ∈ N eine Aussage. Wir definieren M als die Menge aller n ∈ N, f¨ur die A(n) wahr ist. ii) den Induktions-Schritt. h. A(n) ist wahr f¨ur alle n ∈ N. ¨ Bemerkung. Die gemachten Uberlegungen zeigen, dass die nat¨urlichen Zahlen in jedem angeordneten K¨orper enthalten sind.

Trivialerweise ist (1 + x) 0 = 1 1. Induktions-Schritt n → n + 1. d. § 3 Die Anordnungs-Axiome 33 Satz 3 (Wachstum von Potenzen). Sei b eine positive reelle Zahl. a) Ist b > 1, so gibt es zu jedem K ∈ R ein n ∈ N, so dass bn > K . b) Ist 0 < b < 1, so gibt es zu jedem ε > 0 ein n ∈ N, so dass bn < ε . Beweis. a) Sei x := b − 1. Nach Voraussetzung ist x > 0. Die Bernoullische Ungleichung sagt bn = (1 + x)n 1 + nx . Nach dem Archimedischen Axiom gibt es ein n ∈ N mit nx > K − 1. F¨ur dieses n ist dann bn > K.

Es gen¨ugt, den Satz f¨ur reelle Zahlen x 0 zu beweisen. Nach §3, Satz 3, gibt es mindestens eine nat¨urliche Zahl m mit x < b m+1 . Sei k die kleinste § 5 Das Vollst¨andigkeits-Axiom 54 nat¨urliche Zahl, so dass 0 x < bk+1 . Wir konstruieren jetzt durch vollst¨andige Induktion eine Folge (a ν )ν licher Zahlen 0 aν < b, so dass f¨ur alle n −k gilt x= n ∑ ν=−k aν b−ν + ξn −k nat¨ur- ξn < b−n . mit 0 −ν Wegen limn→∞ ξn = 0 folgt dann x = ∑∞ ν=−k aν b , also die Behauptung. Induktionsanfang n = −k.

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