By N. Bourbaki
Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.
Ce deuxième quantity du Livre d Algèbre, deuxième Livre des Éléments de mathématique, traite notamment des extensions de corps et de los angeles théorie de Galois. Il comprend les chapitres: four. Polynômes et fractions rationnelles; five. Corps commutatifs; 6. Groupes et corps ordonnés; 7. Modules sur les anneaux principaux.
Il contient également des notes historiques.
Ce quantity est une nouvelle édition parue en 1981.
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On prendra garde que l'injection canonique de TS(M) dans T(M) n'est pas en général un homomorphisme d'algèbres. Pis encore, TS(M) n'est pas en général stable par la multiplication de T(M). 4. Puissances divisées Soient x E M et k E N . Il est clair que x, O x, O ... O x,, où X I = x2 " ' = xk = x, X est un élément de TSk(M). DÉFINITION 2. Si x E M, l'élément x - O x O ... O x de TSk(M) se note y,(x). PROPOSITION 3. - (i) Si x E M, la puissance p-ième de x calculée dans TS(M) est égale à p ! yp(x).
Rappelons (III, p. , x, E M et o E 6,. z = z pour tout o E 6, sont appelés tenseurs symétriques d'ordre n ; ils forment un sousA-module de Tn(M) noté TSn(M); on a TSO(M):= A, TS1(M) = M. On pose m TS(M) = @ TSn(M); c'est un sous-A-module gradué de T(M). 41 o . z est le l'élément SEO" symétrisé de z. 2. est un homomorphisme du A-module T n ( M ) dans le A-module T S n ( M ) . z = n ! z . 3. Produit dans les tenseurs symétriques Soientp, q E N. Soit G p l qle sous-groupe de GP+,formé des permutations o E G P + , qui laissent stables les intervalles (1, p ) et(p + 1, p + q ) de N .
10. Applications polynomiales DÉFINITION 4. - Soient M et N deux A-modules. On suppose que M est libre. Soit Ap(M, N) le A-module des applications de M dans N. Le sous-module 1PolA(M, N) qbO de Ap(M, N) se note PolA(M,N), ou simplement Pol(M, N) ; ses éléments s'appellent les applications polynomiales de M dans N. Soit (e,),,, une base de M, et supposons 1 fini; d'après la prop. 13 (IV, p. 51), une application f de M dans N est polynomiale si et seulement s'il existe un polynôme F a coefficients dans N en les indéterminées Xi tel que l'on ait pour toute famille x = (xi)i,, dans A'".