Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur by Jörg Bewersdorff

By Jörg Bewersdorff

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach quick dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint. In dieser Auflage wurde ein Kapitel ergänzt, in dem ein alternativer, auf Emil Artin zurückgehender Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie wiedergegeben wird. Dieses Kapitel kann speedy unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden.

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Bei Ferraris Verfahren zur Lösung der reduzierten biquadratischen Gleichung x4 + px2 + qx + r = 0 ist der entscheidende Schritt die Bestimmung einer Lösung z der kubischen Resolventen z3 − p 2 pr q 2 z − rz + − = 0, 2 2 8 auf deren Basis die vier Lösungen paarweise aus zwei quadratischen Gleichungen bestimmt werden können: x 2 m 2z − p x m z 2 − r + z = 0 Aus diesen beiden Gleichungen ergeben sich – unter Beachtung des Vieta’schen Wurzelsatzes für quadratische Gleichungen – zunächst die folgenden Werte für die Produkte der beiden Lösungspaare: Die Suche nach weiteren Auflösungsformeln 43 x1 x 2 = z + z 2 − r x3 x4 = z − z 2 − r In Folge erhält man sofort z= 1 2 ( x1 x 2 + x3 x 4 ) .

Auf jeden Fall ermöglicht die Erweiterung des zugrunde gelegten Zahlbereichs hin zu den komplexen Zahlen eine einheitliche Betrachtungsweise des Lösungsprozesses. Auch Casus irreducibilis – die Geburtsstunde der komplexen Zahlen 21 nimmt uns die Zahlbereichserweiterung die Unsicherheit, bei Berechnungen mit nicht reellen Zwischenergebnissen falsche Endresultate zu erhalten. Allerdings bleibt bei praktischen Berechnungen eine Lücke, da es uns noch an einem Verfahren fehlt, einen Wurzelausdruck wie 3 3 2 + i 196 5 3 effektiv zu vereinfachen oder auch nur numerisch zu berechnen.

Vielleicht den Kern vieler Vorbehalte – selbst Leibniz (1646-1716) hatte 1702 von einem „Wunder der Analysis, einer Missgeburt der Ideenwelt“ gesprochen – traf Gauß 36 Jahre später, nachdem er sich zwischenzeitlich mehrfach genötigt gesehen hatte, die „Metaphysik“ der komplexen Zahlen erörtern zu müssen: Die Schwierigkeiten, mit denen man die Theorie der imaginären Größen umgeben glaubt, haben ihren Grund größtenteils in den wenig schicklichen Benennungen. Hätte man ... die positiven Größen direkt, die negativen inverse und die imaginären laterale Größen genannt, so wäre Einfachheit statt Verwirrung, Klarheit anstatt Dunkelheit die Folge gewesen16.

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